正弦函数的绝对值为什么不能大于1?能用复变函数论解释吗?

Question

正弦函数的绝对值为什么不能大于1?
能用复变函数论解释吗?

Answer 1

实变正弦函数sinx的绝对值不大于1,这是由它的定义所决定的.但是复变正弦函数sinz的绝对值有可能大于1,这也是由它的定义所决定的.当z为复数时,定义sinz=(1/2i)(expiz-exp(-iz)).特别当z=iy为纯虚数时,sin(iy)=(1/2i)(exp(iiy)-exp(-iiy))=(1/2i)(exp(-y)-expy),故 |sin(iy)|=|e^(-y)-e^y|/2.当实变量y趋于无穷时|siniy|将无限变大.