如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

Question

如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：
∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；
∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；
∴BF⊥AC；
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；
∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；
∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；
∴BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；
∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；
∵F为CK中点，且DF∥AC；
∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；
∴DF=(3)/(2)；
又BF=√(3)；
∴在Rt△BFD中，BD=√(3+(9)/(4))=(√(21))/(2)，cos∠BDF=(DF)/(BD)=((3)/(2))/((√(21))/(2))=(√(21))/(7)；
即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为(√(21))/(7)．