如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1-AB-C的余弦值．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁与A₁C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

（1）∵四边形AA₁C₁C为平行四边形，∴AC=A₁C₁，
∵AC=AA₁，∴AA₁=A₁C₁，
∵∠AA₁C₁=60°，∴△AA₁C₁为等边三角形，
同理△ABC₁是等边三角形，
∵D为AC₁的中点，∴BD⊥AC₁，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，
平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，BD⊂平面ABC₁，
∴BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）取AB中点E，连结CE、C₁E
由（1）的证明，可得△ABC₁与△ABC是边长为2的等边三角形，
∵CE、C₁E分别是△ABC与△ABC₁的中线，
∴CE⊥AB且C₁E⊥AB，可得∠C₁EC是二面角C₁-AB-C的平面角
△C₁EC中，CE=C₁E=(√(3))/(2)AB=√(3)，
∴根据余弦定理，得cos∠C₁EC=(C1E2+CE2−C1C2)/(2×CE×C1E)=(3+3−4)/(2×√(3)×√(3))=(1)/(3)．
即二面角C₁-AB-C的余弦值等于(1)/(3)．