如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D是CC1的中点．（1）求二面角D-AB-C的平面角的正切值；（2）求A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D是CC₁的中点．
（1）求二面角D-AB-C的平面角的正切值；
（2）求A₁B与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取AB中点E，连接DE，CE
因为直棱柱，CC₁⊥面ABC，所以CC₁⊥AB，
又因为△ABC为等腰直角三角形，
所以CE⊥AB，所以AB⊥面DEC，即AB⊥DE，
所以∠DEC即为二面角D-AB-C的平面角
因为CD=1，CE=√(2)，则tan∠DEC＝(DC)/(CE)＝(1)/(√(2))＝(√(2))/(2)
（II）连接BC₁．
因为直棱柱，所以CC₁⊥AC，且AC∥A₁C₁，所以CC₁⊥A₁C₁．
而由于AC⊥BC，所以A₁C₁⊥B₁C₁，
所以A₁C₁⊥面BB₁C₁C，
所以∠A₁BC₁即为A₁B与平面BB₁C₁C所成角．
因为A₁C₁=2，BC₁=2√(2)，则sin∠A1BC1＝(A1C1)/(BC1)＝(2)/(2√(2))＝(√(2))/(2)．