如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=2．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值．

Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
AB=PC=2，PA=PB=√(2)．

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结PO、CO，
∵PA=PB=√(2)，AB=2，∴△PAB为等腰直角三角形，
∴PO=1，PO⊥AB，
∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，
∴CO=√(3)，又PC=2，
∴PO²+CO²=PC²，∴PO⊥CO，
又AB∩CO=O，AB⊂平面ABCD，CO⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ） ∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OC⊥AB，OC⊂平面ABCD，
∴OC⊥平面PAB，
∴∠CHO为CH与平面PAB所成的角．
∵tan∠CHO=(CO)/(OH)，∴当OH⊥PB时，OH取得最小值，此时tan∠CHO取得最大值．
当OH⊥PB时，OH=(PO•OB)/(PB)=(√(2))/(2)．
∴tan∠CHO=(CO)/(OH)=√(6)．