为什么说有理数和自然数一样多,实数比自然数多?

Question

为什么说有理数和自然数一样多,实数比自然数多?

Answer 1

有理数和自然数一样多,这个说法太不严密.都是无穷多个,咋说也是数不清的.因为数不清,所以评论【多少】就很不严密.
应该说：有理数集和自然数集都是“可数集合”.
也就是说,有理数集和自然数集可以建立一个“一一对应关系”.好像是老百姓常说的“兵对兵将对将”,你从有理数集里取出的任何一个元素（也就是任一个有理数）来,我都能够从自然数集里找到一个相对应的元素（也就是某个自然数）与之对应.所以,有理数集是“可数集合”.
（至于如何建立这个相对也得可数关系,至少需要码出两三千字,挺费事的,）.
实数集是个“不可数集合”.
等学习到了【初等数论】之后,自己就会明白的.
实数比自然数多,这件事可以随便举个例子：根号2,就不是自然数.圆周率π,也不是自然数.估计这样说,中小学生是可以初步理解的.