设集合Z划分为两两不相交的子集A1，A2，…，An，又划分为两两不相交的子集B1，B2，…，Bn．已知任意两个不相交子集Ai与Bj的并集Ai∪Bj至少含有n个元素，1≤i，j≤n．求证：集合Z中的元素个

Question

设集合Z划分为两两不相交的子集A₁，A₂，…，A_n，又划分为两两不相交的子集B₁，B₂，…，B_n．已知任意两个不相交子集A_i与B_j的并集A_i∪B_j至少含有n个元素，1≤i，j≤n．求证：集合Z中的元素个数至少为(n2)/(2)，它能否等于(n2)/(2)？

Answer 1

设集合A_i至少含n_A个元素，集合B_j至少含n_B个元素，集合Z至少含有m个元素，则：n_A+n_B=n；
∴m=(n•nA+n•nB)/(2)＝(n2)/(2)，即集合Z中的元素至少为(n2)/(2)，并且当m被n整除时，它能等于(n2)/(2)．