1.在下列对应中,哪些是映射,哪些映射是函数,哪些不是?为什么?（1）设A=｛1,2,3,4｝,B=｛3,5,7,9｝,对应关系是f（x）=2+1,x∈A（2）设A=｛1,4,9｝,B=｛-1,1,-2,2,-3,3｝,对应关系是“A中的元素开平方”

Question

1.在下列对应中,哪些是映射,哪些映射是函数,哪些不是?为什么?
（1）设A=｛1,2,3,4｝,B=｛3,5,7,9｝,对应关系是f（x）=2+1,x∈A
（2）设A=｛1,4,9｝,B=｛-1,1,-2,2,-3,3｝,对应关系是“A中的元素开平方”
（3）设A=R,B=R,对应关系是f(x)=x^3,x∈A
（4）设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x^2+1,x∈A
2.设A=｛a,b,c｝,B=｛0,1｝,请写出两个从A到B的映射

Answer 1

设两个集合A和B,和它们元素之间的对应关系R,如果对于A中的每一个元素,通过R在B中都存在唯一一个元素与之对应,则该对应关系R就称为从A到B的一个映射(Mapping).其中A称为原象,B称为象.
映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的.
映射的成立条件简单的表述就是下面的两条：
1、定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象；
2、对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应；
映射的分类：
映射的不同分类是根据映射的结果进行的,从下面的三个角度进行：
1、根据结果的几何性质分类：满射（到上）与非满射（内的）；
2、根据结果的分析性质分类：单射（一一的）与非单的；
3、同时考虑几何与分析性质：满的单射（一一对应）.
集合AB的元素个数为m,n,
那么,从集合A到集合B的映射的个数为n的m次
■函数和映射,满映射和单映射的区别
函数是数集到数集映射,并且这个映射是“满”的.
即满映射f:A -> B是一个函数,其中原像集A称做函数的定义域,像集B称做函数的值域.
“数集”就是数字的集合,可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等等.
“映射”是比函数另广泛一些的数学概念,它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系.即,若f是集合A到集合B的一个映射,那么对A中的任何一个元素a,集合B中都存在唯一的元素b与a对应.我们称a是原像,b是像.写作f:A -> B,元素关系就是b = f(a).
一个映射f:A -> B称作“满”的,就是说对B中所有的元素,都存在A中的原像.
在函数的定义中要求是满射,就是说B必须恰好是值域,不应比值域大.（这个定义来源于一般中学中的讲法,实际上许多数学书上并不一定定义函数是满射.）
象集中每个元素都有原象的映射称为满射
原象集中不同元素的象不同的映射称为单射
单射和满射可共同决定为一一映射.