如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．（1）求证：DE=AF；（2）若⊙O的半径为32，AB=2+1，求AEED

Question

如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．
（1）求证：DE=AF；
（2）若⊙O的半径为 (3)/(2) ，AB=

2

+1 ，求 (AE)/(ED) 的值．

Answer 1

（1）证明：连接EP、FP，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，∠BPA=90°
∴∠FPE=90°，
∴∠BPF=∠APE，
又∵∠FBP=∠PAE=45°，
∴△BPF≌△APE，
∴BF=AE，
而AB=AD，
∴DE=AF；

（2）连EF，
∵∠BAD=90°，
∴EF为⊙O的直径，
而⊙O的半径为 (3)/(2) ，
∴EF=

3

，
∴AF ² +AE ² =EF ² =（

3

） ² =3①，
而DE=AF，
DE ² +AE ² =3；
又∵AD=AE+ED=AB，
∴AE+ED=

2

+1 ②，
由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=1，ED=

2

或AE=

2

，ED=1，
所以： (AE)/(ED) =(2)/(2) 或 (AE)/(ED) =

2

．

提示：（1）连接EF、EP、FP，可证明△AEP≌△BFP
（2）设：AE=x，ED=AF=y
可得： x+y=

2

+1 和x ² +y ² =3，
解得x=

2

，y=1或x=1，y=

2

，
所以： (AE)/(ED) =(2)/(2) 或 (AE)/(ED) =

2

．