计算行列式n阶行列式主对角元素为1、2、……n,其它元素全为2,怎样计算该行列式的值?

Question

计算行列式
n阶行列式主对角元素为1、2、……n,其它元素全为2,怎样计算该行列式的值?

Answer 1

我没有数学软件,就将解题的过程用文字说明一下吧.
（1）n 阶行列式的主对角元素为 1 到 n,其他元素均为 2 ,于是该行列式第二行的数字都是2.根据行列式得性质可以将行列式第二行提取公因子2 ,于是行列式第二行都变成 1,行列式外的系数为 2.
（2）为了化简新的行列式,我们将第二行乘以 -2 分别加到其他各行上,于是除第二行之外,其他所有行的 2 都变成了 0 ,主对角线上的元素数字分别减少了2 ,变成了 -1,1,1,2,3,4,……,n-3,n-2 （ 最后一行的主对角线元素边成了 n-2 ）
（3）现在的行列式除了第二行全是 1 ,其他各行除了主对角线上的元素之外都是 0 ,为了计算该行列式的值,将行列式按第一行进行展开 .第一行除了第一个元素是 -1 ,其他都是 0 ,因此只计算第一个元素的代数余子式即可.于是结果变成 -2乘以一个 n-1 阶行列式的形式,这个 n-1 阶的行列式第一行的元素都是1 ,其他各行除了主对角线上的元素不等于 0 ,其他元素都是 0 ,且从第二行开始的主对角元素分别是 1,2,3,4,…… ,n-3 ,n-2 .
（4）新的 n-1 阶行列式为典型的三角行列式,其数值为主对角线各元素的乘积,即 （n-2）!（此处表示的是 n-2 的阶乘）
（5）最终的结果是 -2*[（n-2）!]