笛卡尔积的绝对值是什么意思?A比如|AXB|=|A|点乘|B|.这个是什么意思?笛卡尔积的绝对值代表什么?A,B分别是有穷集合

Question

笛卡尔积的绝对值是什么意思? A 比如 |A X B| = |A| 点乘 |B|. 这个是什么意思?笛卡尔积的绝对值代表什么?
A,B分别是有穷集合

Answer 1

这不是绝对值
一个集合加上两个竖线在数学里一般是表示集合的基数
|AXB|=|A|点乘|B|
你所谓的“点乘”也不是所谓的点乘就是普通的数与数的乘法
这个与你是否用Cartessian product（笛卡尔积）没有什么关系.只要是集合
|A∩B| |A∪B| 什么的 都跟这里的竖线符号意思是一样的.
|集合| 表示的是这个集合的基数.
基数是这样的,如果这个集合是一个有限集（就是元素个数是有限个的集合）,那么其基数就是这个集合的元素的个数,比如|{1,2,3}|=3之类的
如果这个集合是一个无限集,基数就是集合元素个数的一个推广形式（注意不能单纯用∞来表示无限集的基数）比如所有自然数组成的集合N,所有整数组成的集合Z 这俩集合都是可数无穷多个元素,基数是一样的,“可数无穷多”基数一般用 阿列夫0 （阿列夫那个符号我打不出来,你可以随便找一本实分析的教材(一般就在第一章)或者有涉及连续统问题的集合论教材,都会找到）来表示.
基数相同的集合是可以建立一一对应的集合.Z和N Z和Q之类的是可以建立一一对应的（其实任何俩个具有可数无穷多个元素的集合都是可以建立一一对应的）但是Z和实数集R就不能建立一一对应(这个在大多数实变函数的课本里都有证明),实数集也不是可数无穷多个元素,而是不可数的.R的基数比Z的基数“大”.
总结一下 ,就是说 |Z|=阿列夫0 |R|=c>阿列夫0 这里c和阿列夫0都不是整数,而是集合的无穷大基数专用的符号.
另外,一个集合A的基数如果是 a 则 A的所有子集构成的集合B（B的元素是A的子集,比如A如果是{1,2} ,那么A的所有4个子集 A1=∅,A2={1},A3={2},A4={1,2} .这时候A的所有子集构成的集合B就是{A1,A2,A3,A4} 有4个元素,元素是集合）B的基数是4,A的基数是2.
A的所有子集构成的集合B（在集合论里一般称为A的幂集,记作P(A)或者2 A （A是上标））
|A|＜∞ 即A有限集的时候,|P(A)|=2^|A|>|A| 因此在无穷大的时候也有类似的推广形式
比如会吧 |P(Z)|记作 2^(阿列夫0) 可以证明P(Z)是不可以跟Z建立一一对应的（事实上P(Z)可以跟实数集R建立一一对应）,推广开来看,可以泛泛地说P(Z)的元素比Z的元素 “多”.
另外集合论里还有一个20世纪初讨论了很激烈的问题,就是连续统问题,如果我记得没错的话,就是关于集合的基数的,就是问阿列夫0 和 2^(阿列夫0) 之间是否存在比阿列夫0大,又比2^(阿列夫0)小的 基数的集合.这个问题后来被某数学家证明不论认为它正确还是认为它错误,与其他公理放一起都永远不会产生矛盾,并且严格地证明了该假设对于其他公理的独立性.所以该假设是公理级别的,就是你既可以认为他对,也可以认为他错.认为他对就是一套公理体系,认为他错就是另一套公理体系.现在主流的数学都使用“阿列夫0 和 2^(阿列夫0) 之间 不存在其他基数” 这个连续统假设作为公理.（ZFC公理体系里就加入了这个连续统假设）