早教吧作业答案频道 -->其他-->
(2007•朝阳区一模)如图,棱长为1的正四面体ABCD中,E、F分别是棱AD、CD的中点,O是点A在平面BCD内的射影.(Ⅰ)求直线EF与直线BC所成角的大小;(Ⅱ)求点O到平面ACD的距离;(Ⅲ)求二
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0dd7912397dda14410c5f536b1b7d0a20df48662.jpg)
(Ⅰ)求直线EF与直线BC所成角的大小;
(Ⅱ)求点O到平面ACD的距离;
(Ⅲ)求二面角E-BE-F的大小.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)因为E、F分别是棱AD、CD的中点,
所以EF∥AC.
所以∠BCA是EF与BC所成角.
∵正四面体ABCD,∴△ABC为正三角形,
所以∠BCA=60°.
即EF与BC所成角的大小是60°.
(II)如图,连接AO,AF,
因为F是CD的中点,
且△ACD,△BCD均为正三角形,
所以BF⊥CD,AF⊥CD.
因为BF∩AF=F,
所以CD⊥面AFB.
因为CD⊂在ACD,
所以面AFB⊥面ACD.
因为ABCD是正四面体,且O是点A在面BCD内的射影,
所以点O必在正三角形BCD的中线BF上,
在面ABF中,过O做OG⊥AF,垂足为G,
所以OG⊥在ACD.
即OG的长为点O到面ACD的距离.
因为正四面体ABCD的棱长为1,
在△ABF中,容易求出AF=BF=
,OF=
,AO=
,
因为利用相似比易求出OG=
.
所以点O到平面ACD的距离是
.
(Ⅲ)连接OD,设OD的中点为K,连EK,
则EK∥AO.
因为AO⊥面BCD,
所以EK⊥面BCD.
在平在BCD内,过点K作KN∥CD,KN交BF
于M,交BC于N,
因为BF⊥CD,
所以KN⊥BF.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ced80650b79145d688d53f206b.jpg)
连接EM,
所以EM⊥BF.
所以∠NME是所求二面角的平面角.
因为EK=
CH=
•
=
,
MK=
ED=
AD=
,
所以tan∠EMK=
=
.
所以tan∠NME=tan(π−∠EMK)=−
.
所以所求二面角的大小为π−arctan
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fde0f13ef1d588d43f86942762.jpg)
所以EF∥AC.
所以∠BCA是EF与BC所成角.
∵正四面体ABCD,∴△ABC为正三角形,
所以∠BCA=60°.
即EF与BC所成角的大小是60°.
(II)如图,连接AO,AF,
因为F是CD的中点,
且△ACD,△BCD均为正三角形,
所以BF⊥CD,AF⊥CD.
因为BF∩AF=F,
所以CD⊥面AFB.
因为CD⊂在ACD,
所以面AFB⊥面ACD.
因为ABCD是正四面体,且O是点A在面BCD内的射影,
所以点O必在正三角形BCD的中线BF上,
在面ABF中,过O做OG⊥AF,垂足为G,
所以OG⊥在ACD.
即OG的长为点O到面ACD的距离.
因为正四面体ABCD的棱长为1,
在△ABF中,容易求出AF=BF=
| ||
2 |
| ||
6 |
| ||
3 |
因为利用相似比易求出OG=
| ||
9 |
所以点O到平面ACD的距离是
| ||
9 |
(Ⅲ)连接OD,设OD的中点为K,连EK,
则EK∥AO.
因为AO⊥面BCD,
所以EK⊥面BCD.
在平在BCD内,过点K作KN∥CD,KN交BF
于M,交BC于N,
因为BF⊥CD,
所以KN⊥BF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ced80650b79145d688d53f206b.jpg)
连接EM,
所以EM⊥BF.
所以∠NME是所求二面角的平面角.
因为EK=
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
3 |
| ||
6 |
MK=
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
所以tan∠EMK=
FK |
MK |
2
| ||
3 |
所以tan∠NME=tan(π−∠EMK)=−
2
| ||
3 |
所以所求二面角的大小为π−arctan
2
| ||
3 |
看了 (2007•朝阳区一模)如图...的网友还看了以下:
23g某有机物在空气中完全燃烧,共生成44g二氧化碳和27g水,该有机物由C、H、O元素组成,求各 2020-05-16 …
下列各变化不属于物理变化的是()A.氢氧化钠固体潮解B.敞口的浓盐酸试剂瓶口有白雾生成C.二氧化碳 2020-05-17 …
保险医学与临床医学关系紧密,下列说法不正确的是( )。A.二者同属医学范畴B.二者相辅相成C.二者 2020-05-22 …
怎么制甲苯?邻二甲苯?乙苯?烷基化反应:卤代烷在AlCl3的作用下生成C+,C+在进攻苯环之前会发 2020-07-29 …
慢跑是一种健康的有氧运动.在需氧呼吸的三个阶段中,关于水的叙述正确的是()A.水在第一阶段参加反应, 2020-10-30 …
第五届地球小博士答案啊.3Q1.关于大气的主要成分(按体积比构成),说法正确的是:A.二氧化碳占21 2020-11-13 …
1940年,美国宣称“成为民主国家的兵工厂”,并对外援助军事物资.此事的背景是()A.经济大危机B. 2020-11-30 …
下列验证实验与结论相对应正确的是()A.分子总是不断地运动B.水是由氢气和氧气组成C.二氧化碳能使紫 2020-12-23 …
关于世界政治地理格局的叙述,正确的是A.两次世界大战的起因均是工业化国家按实力重新瓜分世界B.二战后 2020-12-26 …
二氧化碳能使澄清石灰水变浑浊是因为()A.二氧化碳跟水反应生成碳酸B.二氧化碳跟石灰水反应有难溶于水 2021-02-09 …