（2007•朝阳区一模）如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影．（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；（Ⅲ）求二

Question

（2007•朝阳区一模）如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影．
（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；
（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大小．

Answer 1

（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，
所以EF∥AC．
所以∠BCA是EF与BC所成角．
∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形，
所以∠BCA=60°．
即EF与BC所成角的大小是60°．
（II）如图，连接AO，AF，
因为F是CD的中点，
且△ACD，△BCD均为正三角形，
所以BF⊥CD，AF⊥CD．
因为BF∩AF=F，
所以CD⊥面AFB．
因为CD⊂在ACD，
所以面AFB⊥面ACD．
因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，
所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，
在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，
所以OG⊥在ACD．
即OG的长为点O到面ACD的距离．
因为正四面体ABCD的棱长为1，
在△ABF中，容易求出AF=BF=(√(3))/(2)，OF=(√(3))/(6)，AO=(√(6))/(3)，
因为利用相似比易求出OG=(√(6))/(9)．
所以点O到平面ACD的距离是(√(6))/(9)．
（Ⅲ）连接OD，设OD的中点为K，连EK，
则EK∥AO．
因为AO⊥面BCD，
所以EK⊥面BCD．
在平在BCD内，过点K作KN∥CD，KN交BF
于M，交BC于N，
因为BF⊥CD，
所以KN⊥BF．
连接EM，
所以EM⊥BF．
所以∠NME是所求二面角的平面角．
因为EK=(1)/(2)CH=(1)/(2)•(√(6))/(3)＝(√(6))/(6)，
MK=(1)/(2)ED=(1)/(4)AD=(1)/(4)，
所以tan∠EMK＝(FK)/(MK)＝(2√(6))/(3)．
所以tan∠NME＝tan(π−∠EMK)＝−(2√(6))/(3)．
所以所求二面角的大小为π−arctan(2√(6))/(3)．