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如图:菱形ABCD是由两个正三角形拼成的,点P在△ABD内任一点,现把△BPD绕点B旋转到△BQC的位置.则(1)当四边形BPDQ是平行四边形时,求∠BPD;(2)当△PQD是等腰直角三角形时,求∠BPD;
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3c6d55fbb2fb43160f1a9dcb23a4462309f7d37e.jpg)
(1)当四边形BPDQ是平行四边形时,求∠BPD;
(2)当△PQD是等腰直角三角形时,求∠BPD;
(3)若∠APB=100°,且△PQD是等腰三角形时,求∠BPD.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接DQ,当四边形BPDQ是平行四边形时,BQ=PD,
由已知,得BQ=BP,
∴BP=PD,则△BDP,△BCQ为等腰三角形,
由PD∥BQ可知,∠BDP=∠DBQ,
又∵∠BDP=∠DBP=∠CBQ,
则∠DBQ=∠CBQ,而∠DBQ+∠CBQ=60°,
∴∠BDP=∠DBP=∠CBQ=30°,
∠DPB=180°-(∠BDP+∠DBP)=120°;
(2)连接PQ,
当DP=DQ,∠PDQ=90°时,由旋转的性质可得BP=BQ,△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,
当DQ=PQ,∠PQD=90°时,同理得△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,
当DP=PQ,∠DPQ=90°时,同理得△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+90°=150°;
(3)连接AP,由旋转的性质可得BP=BQ,△BPQ为等边三角形,则∠PQB=60°,
∵BD=AB,BQ=BP,∠PBQ=∠ABD=60°,
∴△BQD≌△BPA,则∠BQD=∠BPA=100°,
∴∠PQD=∠BQD-∠PQB=40°,
当PQ=PD时,∠DPQ=180°-2∠PQD=100°,∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=100°+60°=160°,
当PQ=DQ时,∠DPQ=
(180°-40°)=70°,∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=70°+60°=130°,
当PD=DQ时,∠DPQ=∠PQD=40°,由∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=40°+60°=100°.
即∠BPD=160°或130°或100°.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1c950a7b02087bf444deb058f1d3572c11dfcf55.jpg)
由已知,得BQ=BP,
∴BP=PD,则△BDP,△BCQ为等腰三角形,
由PD∥BQ可知,∠BDP=∠DBQ,
又∵∠BDP=∠DBP=∠CBQ,
则∠DBQ=∠CBQ,而∠DBQ+∠CBQ=60°,
∴∠BDP=∠DBP=∠CBQ=30°,
∠DPB=180°-(∠BDP+∠DBP)=120°;
(2)连接PQ,
当DP=DQ,∠PDQ=90°时,由旋转的性质可得BP=BQ,△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,
当DQ=PQ,∠PQD=90°时,同理得△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,
当DP=PQ,∠DPQ=90°时,同理得△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+90°=150°;
(3)连接AP,由旋转的性质可得BP=BQ,△BPQ为等边三角形,则∠PQB=60°,
∵BD=AB,BQ=BP,∠PBQ=∠ABD=60°,
∴△BQD≌△BPA,则∠BQD=∠BPA=100°,
∴∠PQD=∠BQD-∠PQB=40°,
当PQ=PD时,∠DPQ=180°-2∠PQD=100°,∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=100°+60°=160°,
当PQ=DQ时,∠DPQ=
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当PD=DQ时,∠DPQ=∠PQD=40°,由∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=40°+60°=100°.
即∠BPD=160°或130°或100°.
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