等p正三角形的面积最大怎么用海伦公式和不等式证明?

Question

等p正三角形的面积最大
怎么用海伦公式和不等式证明?

Answer 1

海伦公式：
S
=√[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]
p一定,只考虑(p-a)*(p-b)*(p-c)的最大值
首先显然有p>a,p>b,p>c
由平均值不等式
(p-a)*(p-b)*(p-c)
≤[(p-a+p-b+p-c)/3]^3
=(p/3)^3
由均值不等式的取等条件知
p-a=p-b=p-c
即a=b=c时,面积最大.
证毕.