设EF是边长为2根号6的正三角形ABC的外接圆的一条动直径,点P为△ABC三边上的动点,则向量EP*向量PF的取值范围为（）0,6

Question

设EF是边长为2根号6的正三角形ABC的外接圆的一条动直径,点P为△ABC三边上的动点,则向量EP*向量PF的取值范围为（）
【0,6】

Answer 1

外接圆半径是2,设其方程为x²+y²=4,设E(2cosα,2sinα),则F(-2cosα,-2sinα)
令三角形的一边平行于x轴,则该边方程为y=1（y=-1也行）,则P(k,1)（-√3≤k≤√3)
则EP=(k-2cosα,1-2sinaα),PF=(-2cosα-k,-2sinα-1)
则EP*PF=-(k²-4cos²α)-(1-4sin²α)=3-k²
由于-√3≤k≤√3,即0≤k²≤3,故0≤EP*PF≤6