如图，多面体ABCDE中，四边形ABED是直角梯形，∠BAD=90°，DE∥AB，平面BAED⊥平面ACD，ΔACD是边长为2a的正三角形，DE=2AB=2a，F是CD的中点(Ⅰ)求证：AF⊥平面CDE；(Ⅱ)求面ACD与面BCE所成二面角的大

Question

如图，多面体ABCDE中，四边形ABED是直角梯形，∠BAD=90°，DE∥AB，平面BAED⊥平面ACD，ΔACD是边长为2a的正三角形，DE=2AB=2a，F是CD的中点
(Ⅰ)求证：AF⊥平面CDE；
(Ⅱ)求面ACD与面BCE所成二面角的大小．

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Answer 1

【分析】(I)由已知中，∠BAD=90°，DE∥AB，结合平面BAED⊥平面ACD，易得到DE⊥面ACD，DE⊥AF，又由F是CD的中点，根据等腰三角形三线合一得AF⊥CD，结合线面垂直的判定定理即可得到答案．
\n(II)延长DA，EB相交于点G，连接CG，根据平行线分线段成比例定理，我们及判断出AF∥CG，结合(1)的结论，我们易得∠DCE为面ACD与面BCE所成二面角的平面角，解三角形ACD，即可得到答案．

(Ⅰ)证明：∵∠BAD=90°，DE∥AB，
\n∴DE⊥AD
\n又平面BAED⊥平面ACD，平面BAED∩平面ACD=AD，
\n∴DE⊥面ACD，
\n∴DE⊥AF(3分)
\n∵DACD是正三角形，F是CD的中点，
\n∴AF⊥CD，
\n∴AF⊥平面CDE．(6分)

\n(Ⅱ)延长DA，EB相交于点G，连接CG，
\n易知平面ACD∩平面BCE=GC
\n由DE∥ABB，DE=2AB=2a知==
\n∴=
\n∵F是CD的中点，
\n∴=，
\n∴=⇒AF∥CG
\n由(Ⅰ)AF⊥平面CDE，
\n∴GC⊥平面CDE
\n∴GC⊥CD，GC⊥CE
\n∴∠DCE为面ACD与面BCE所成二面角的平面角 (9分)
\n在DCDE中，∠CDE=90°，DE=CD=2a，
\n∴∠DCE=45°
\n即面ACD与面BCE所成二面角为45° (12分)

【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定、性质、定义及几何特征是解答本题的关键．