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如图,多面体ABCDE中,四边形ABED是直角梯形,∠BAD=90°,DE∥AB,平面BAED⊥平面ACD,ΔACD是边长为2a的正三角形,DE=2AB=2a,F是CD的中点(Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE;(Ⅱ)求面ACD与面BCE所成二面角的大
题目详情
如图,多面体ABCDE中,四边形ABED是直角梯形,∠BAD=90°,DE∥AB,平面BAED⊥平面ACD,ΔACD是边长为2a的正三角形,DE=2AB=2a,F是CD的中点
(Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE;
(Ⅱ)求面ACD与面BCE所成二面角的大小.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9345d688d43f8794d5d22613d61b0ef41bd53ad9.jpg)
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(Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE;
(Ⅱ)求面ACD与面BCE所成二面角的大小.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9345d688d43f8794d5d22613d61b0ef41bd53ad9.jpg)
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▼优质解答
答案和解析
【分析】(I)由已知中,∠BAD=90°,DE∥AB,结合平面BAED⊥平面ACD,易得到DE⊥面ACD,DE⊥AF,又由F是CD的中点,根据等腰三角形三线合一得AF⊥CD,结合线面垂直的判定定理即可得到答案.
\n(II)延长DA,EB相交于点G,连接CG,根据平行线分线段成比例定理,我们及判断出AF∥CG,结合(1)的结论,我们易得∠DCE为面ACD与面BCE所成二面角的平面角,解三角形ACD,即可得到答案.
\n(II)延长DA,EB相交于点G,连接CG,根据平行线分线段成比例定理,我们及判断出AF∥CG,结合(1)的结论,我们易得∠DCE为面ACD与面BCE所成二面角的平面角,解三角形ACD,即可得到答案.
(Ⅰ)证明:∵∠BAD=90°,DE∥AB,
\n∴DE⊥AD
\n又平面BAED⊥平面ACD,平面BAED∩平面ACD=AD,
\n∴DE⊥面ACD,
\n∴DE⊥AF(3分)
\n∵DACD是正三角形,F是CD的中点,
\n∴AF⊥CD,
\n∴AF⊥平面CDE.(6分)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1ad5ad6eddc451daf8db62d6b2fd5266d01632d9.jpg)
\n(Ⅱ)延长DA,EB相交于点G,连接CG,
\n易知平面ACD∩平面BCE=GC
\n由DE∥ABB,DE=2AB=2a知
=
=![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9922720e0cf3d7ca9813504bf61fbe096b63a922.jpg)
\n∴
=![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8b13632762d0f7035fb4fbe10cfa513d2697c58d.jpg)
\n∵F是CD的中点,
\n∴
=
,
\n∴
=
⇒AF∥CG
\n由(Ⅰ)AF⊥平面CDE,
\n∴GC⊥平面CDE
\n∴GC⊥CD,GC⊥CE
\n∴∠DCE为面ACD与面BCE所成二面角的平面角 (9分)
\n在DCDE中,∠CDE=90°,DE=CD=2a,
\n∴∠DCE=45°
\n即面ACD与面BCE所成二面角为45° (12分)
\n∴DE⊥AD
\n又平面BAED⊥平面ACD,平面BAED∩平面ACD=AD,
\n∴DE⊥面ACD,
\n∴DE⊥AF(3分)
\n∵DACD是正三角形,F是CD的中点,
\n∴AF⊥CD,
\n∴AF⊥平面CDE.(6分)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1ad5ad6eddc451daf8db62d6b2fd5266d01632d9.jpg)
\n(Ⅱ)延长DA,EB相交于点G,连接CG,
\n易知平面ACD∩平面BCE=GC
\n由DE∥ABB,DE=2AB=2a知
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0824ab18972bd407b7eabdc07f899e510fb309d9.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8b13632762d0f7035e57fae10cfa513d2697c522.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9922720e0cf3d7ca9813504bf61fbe096b63a922.jpg)
\n∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d62a6059252dd42adcec6e96073b5bb5c9eab822.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8b13632762d0f7035fb4fbe10cfa513d2697c58d.jpg)
\n∵F是CD的中点,
\n∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0dd7912397dda144a3ed038fb6b7d0a20cf48622.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/caef76094b36acaf3604f9c178d98d1001e99c22.jpg)
\n∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d12f2eb9389b50691b8f6f8135e5dde7116e22.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3bf33a87e950352ac6604b355743fbf2b2118b8d.jpg)
\n由(Ⅰ)AF⊥平面CDE,
\n∴GC⊥平面CDE
\n∴GC⊥CD,GC⊥CE
\n∴∠DCE为面ACD与面BCE所成二面角的平面角 (9分)
\n在DCDE中,∠CDE=90°,DE=CD=2a,
\n∴∠DCE=45°
\n即面ACD与面BCE所成二面角为45° (12分)
【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,二面角的平面角的求法,熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定、性质、定义及几何特征是解答本题的关键.
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