有关任意角及其度量的问题已知扇形的圆心角为pai/3,半径为r,圆C与扇形的两条半径及扇形的弧都相切,求圆C中圆心角为pai/3的扇形与原扇形的面积之比.

Question

有关任意角及其度量的问题
已知扇形的圆心角为pai/3,半径为r,圆C与扇形的两条半径及扇形的弧都相切,求圆C中圆心角为pai/3的扇形与原扇形的面积之比.

Answer 1

1:9
先给问题画个图,标出字母.
设原扇形的圆心为O,圆C与扇形在两边上的切点分别为A,B,两圆弧的切点为D.连接CA（或CB）.最后设圆C的半径为R.
首先有,O,C,D在一条直线上.
因为∠AOB=pai/3,
所以∠AOC=pai/6（也就是30°,不详细证明了）
从而OC=2AC=2R
进而OD=OC+CD=2R+R=3R=r.
这说明两个相似的扇形的半径之比（小比大）为1：3,
所以它们的面积之比为1：9.完.