（2014•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-18x+72=0的两根（OA＞OC），

Question

（2014•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x²-18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=(3)/(4)．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若反比例函数y=(k)/(x)的图象经过点E，求k的值；
（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x²-18x+72=0
∴x₁=6，x₂=12．
∵OA＞OC，
∴OA=12，OC=6．
∴A（12，0），C（-6，0）；

（2）∵tan∠ABO=(3)/(4)，
∴(OA)/(OB)=(3)/(4)，
∴(12)/(OB)＝(3)/(4)，
∴OB=16．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=√(162+122)=20．
∵BE=5，
∴AE=15．
如图1，作EM⊥x轴于点M，
∴EM∥OB．
∴△AEM∽△ABO，
∴(EM)/(BO)＝(AM)/(AO)＝(AE)/(AB)，
∴(EM)/(16)＝(AM)/(12)＝(15)/(20)，
∴EM=12，AM=9，
∴OM=12-9=3，
∴E（3，12），
∴12=(k)/(3)，
∴k=36；

（3）满足条件的点Q的个数是6，如图2所示，
x轴的下方的Q₄（10，-12），Q₆（-3，6-3√(6)）；

如图①，∵E（3，12），C（-6，0），
∴CG=9，EG=12，
∴EG²=CG•GP，
∴GP=16，
∵△CPE与△PCQ中心对称，
∴CH=GP=16，QH=EG=12，
∵OC=6，
∴OH=10，
∴Q（10，-12），

如图②∵E（3，12），C（-6，0），
∴CG=9，EG=12，
∴CE=15，
∵MN=(1)/(2)CG=(9)/(2)，
∴MK=(9)/(2)-3=(3)/(2)，
∴PK=√((<作业帮用户2017-10-20问题解析（1）先求出一元二次方程x2-18x+72=0的两根就可以求出OA，OC的值，进而求出点A，C的坐标；（2）先由勾股定理求出AB的值，得出AE的值，如图1，作EM⊥x轴于点M，由相似三角形的性质就可以求出EM的值，AM的值，就可以求出E的坐标，由待定系数法就可以求出结论；（3）如图2，分别过C、E作CE的垂线交坐标轴三个点P1、P3、P4，可作出三个Q点，过E点作x轴的垂线与x轴交与p2，即可作出Q2，以CE为直径作圆交于y轴两个点P5、P6，使PC⊥PE，即可作出Q5、Q6．名师点评本题考点：一次函数综合题；勾股定理；相似三角形的应用．考点点评：本题考查了一次函数的交点坐标的求法以及勾股定理的运用，三角函数的应用，三角形相似对应边成比例等．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)