在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin（π/6+C）+ccos（π/3+B）=acosA（I）求角A；（II）求sinB+sinC的最大值

Question

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin（π/6+C）+ccos（π/3+B）=acosA
（I）求角A；
（II）求sinB+sinC的最大值

Answer 1

答：
（1）
bsin（π/6+C）+ccos（π/3+B）=acosA
根据正弦定理：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,a,b和c代入上式得：
sinBsin(π/6+C)+sinCcos(π/3+B)=sinAcosA
(√3/2)sinBsinC+(1/2)sinBcosC+(1/2)sinCcosB-(√3/2)sinCsinB=sinAcosA
所以：sin(B+C)=sin2A
所以：B+C=2A
因为：A+B+C=180°
所以：A=60°
（2）B+C=120°
sinB+sinC
=sinB+sin(120°-B)
=2sin60°cos(B-60°)
=√3cos(B-60°)
所以：当B-60°=0即B=C=60°时,sinB+sinC最大值为√3