如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax2+bx上运动，斜边AB垂直于y轴，且AB=4，∠CAB=60°．当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时，点A坐标是（−32，0），B点恰在抛物线y=ax2+bx上

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax²+bx上运动，斜边AB垂直于y轴，且AB=4，∠CAB=60°．当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时，点A坐标是（−(3)/(2)，0），B点恰在抛物线y=ax²+bx上．
（1）求AB边上的高线CD的长；
（2）求抛物线解析式；
（3）Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当左右两部分的面积相等时，求顶点C的坐标．

Answer 1

（1）∵∠CAB=60°，CD是斜边AB上的高，
∴∠B=∠ACD=90°-60°=30°，
∴AC=(1)/(2)AB=(1)/(2)×4=2，
AD=(1)/(2)AC=(1)/(2)×2=1，
在Rt△ACD中，CD=√(AC2−AD2)=√(22−12)=√(3)；

（2）∵点A坐标是（−(3)/(2)，0），AB=4，
∴点B的坐标为（(5)/(2)，0），
点C的横坐标为-（(3)/(2)-1）=-(1)/(2)，
∴点C的坐标为（-(1)/(2)，√(3)），
∵点B（(5)/(2)，0），C（-(1)/(2)，

作业帮用户 2017-11-04

问题解析

（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠B=∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AD，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）根据点A的坐标和AB的长度求出点B的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设AB、BC与y轴的交点分别为E、F，然后利用三角形的面积求出BE，再表示出DE，从而得到点C的横坐标，再根据点C在抛物线上，把点C的横坐标代入抛物线求解得到点C的纵坐标即可得解．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是二次函数综合题型，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，勾股定理的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，（2）表示出点C的横坐标是解题的关键，（3）难点在于利用三角形的面积求出点B到y轴的距离，即BE的长度．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议