如图，平面直角坐标系中，A（-1，0），C是x轴负半轴上一点，B是y轴正半轴上一点，OB：AC=3：2，S△ABC=3．（1）求B、C的坐标；（2）D（0，5），连AD交BC于F，求证：DF=AF；（3）如图，P是△BOC内

Question

如图，平面直角坐标系中，A（-1，0），C是x轴负半轴上一点，B是y轴正半轴上一点，OB：AC=3：2，S_△ABC=3．
（1）求B、C的坐标；
（2）D（0，5），连AD交BC于F，求证：DF=AF；
（3）如图，P是△BOC内一点，BP⊥OP，作射线CP，BE⊥CP于E，OF⊥OP交BE于F，求∠BPF的度数．

Answer 1

（1）设AC=2x，则OB=3x，
∴S_△ABC=(1)/(2)AC•OB=3x²=3，
∴x=1（舍去），或x=-1，
∴B（0，3），C（-3，0）；

（2）∵B（0，3），C（-3，0），
∴直线BC的解析式为：y=x+3，直线AD的解析式为：y=5x+x，
解

y=x+3

y=5x+5

得x=-(1)/(2)，y=(5)/(2)，
∴F（-(1)/(2)，(5)/(2)），
∴F是AD的中点，
∴DF=AF；

（3）设射线CE与y轴交于M，直线BE与X轴交于N，
∵BE⊥CP，
∴∠BME=∠COM=90°，∠CMO=∠BME，
∴△CMO∽△BME，∴∠PCO=∠FBO，
∵OF⊥OP，
∴∠POF=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠POC=∠FOB，
在△POC与△FOC中，

∠PCO=∠FBO

∠POC=∠FOB

OB=OC

，
∴△POC≌△FOC，
∴PO=FO，
∵△POF是等腰直角三角形，
∴∠FPO=45°，
∴∠BPF=90°-45°=45°．