在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），，①若，则满足条件的点的个数为；②若满足的点的个数为，则的取值范围是．

Question

在棱长为 的正方体 中，点 是正方体棱上一点（不包括棱的端点）， ，
①若 ，则满足条件的点 的个数为 ________ ；
②若满足 的点 的个数为 ，则 的取值范围是 ________ ．

Answer 1

在棱长为 的正方体 中，点 是正方体棱上一点（不包括棱的端点）， ，
①若 ，则满足条件的点 的个数为 ________ ；
②若满足 的点 的个数为 ，则 的取值范围是 ________ ．

     

试题分析：① 时， ,结合椭圆定义知，动点 轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心， 为焦点的椭圆体.
⑴当椭圆体与 有交点时，则由对称性知椭圆体必与 ， 有交点.
设 ，则 ， ，
因为 ，所以 由于 ，所以此时有六个交点.
⑵当椭圆体与 有交点时，则由对称性知椭圆体必与 ， 有交点.
设 ，则 ， ，
因为 得 所以 由于 ，所以此时无有六个交点.
说明：当 或 时，椭圆体与正方体交于除 外的六个顶点.
②若 则动点 不存在.若 则动点 轨迹为线段 ，满足条件的点 的个数为2.因此 即动点 轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心， 为焦点的椭圆体.由①分析可知，要使得满足条件的点 的个数为6，须使得 .