椭圆x平方/a平方+y平方/b平方=1(a>b>0)短轴的两个端点是B1,B2,M是椭圆上不同于B1,B2的任一点,直线MB1,MB2与x轴分别交于P、Q.求证：向量OPx向量OQ是一个常数.

Question

椭圆x平方/a平方+y平方/b平方=1(a>b>0)短轴的两个端点是B1,B2,M是椭圆上不同于B1,B2的任一点,直线MB1,MB2与x轴分别交于P、Q.求证：向量OPx向量OQ是一个常数.

Answer 1

证明：设M坐标(acosθ,bsinθ）θ∈[0,π/2)∪（π/2,π)
B1(0,b）,B2（0,-b)
直线MB1斜率为k1,则k1=(bsinθ-b)/acosθ
直线方程为y=k1x+b
令y=0,所以P点横坐标为-b/k1
直线MB2斜率为k2,则k2=(bsinθ+b)/acosθ
直线方程为y=k2x-b
令y=0,所以Q点横坐标为b/k2
向量OPx向量OQ=-b/k1*b/k2=-b²/k1*k2=-a²cos²θ/(sin²θ-1)=a²
所以向量OPx向量OQ为定值a²