已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角为60度.（1）求AC1的长.（2）求AC1与平面ABCD所成的角.

Question

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角为60度.
（1）求AC1的长.（2）求AC1与平面ABCD所成的角.

Answer 1

过A'做A'D垂直于平面AC于D,且D在AC上.
过D在平面AC内做DE垂直于AB交AB于E,连接A'E.
同理做D'F垂直于平面AC,交AC延长线于F.
由于以A为顶点的三条棱长都是1且两两夹角60°,
则A'E=1/2, 
DE=√3/6, 
AD=√3/3,
A'D=C'F=√6/3.
△A'AD≌△C'CF,
所以AF=4√3/3.
所以Rt△AC'F中,
AF=4√3/3, 
C'F=√6/3.
而∠C'AF便是所求角, 
AC'=√6.
所以cos∠C'AF=2√2/3