高一数学题Sn={1,2,3...n}（n∈正整数)①A包含于Sn②任意x属于A→2x∉A③任意x属于A在Sn中的补集→2x∉A在Sn中的补集求：（1）f（4）（2）f（n）的表达式f(n)是满足以下条件的集合A的个

Question

高一数学题Sn={1,2,3...n}（n∈正整数)
①A包含于Sn ②任意x属于A→2x∉A ③任意x属于A在Sn中的补集→2x∉A在Sn中的补集
求：（1）f（4） （2）f（n）的表达式
f(n)是满足以下条件的集合A的个数，①A包含于Sn ②任意x属于A→2x∉A ③任意x属于A在Sn中的补集→2x∉A在Sn中的补集
求：（1）f（4） （2）f（n）的表达式

Answer 1

(1)f(4)=3
(2)由②任意x属于A→2x∉A ③任意x属于A在Sn中的补集→2x∉A在Sn中的补集这两个条件说明如果x是否在A中确定了,2x的在A中还是在A补中也就确定了.分以下三种情况讨论
（i ）若n=4时
（1）若n=2k（k属于正整数,且k>1）
其中共有k个奇数,这些数不是任何数的2倍,这些数不受约束,可以自己选择在A中还是A补中,
还有k个偶数,这些偶数均可以用前面的k个奇数表示,所以这些数在A中还是A补中由前面的k个奇数确定.但要保证的是A不能为空集,因为这样的话A的补集即为
因此,只需选择k个奇数是否在A中即可完成A集合的组建,这样A集合共有
C(k,1) + C(k,2) + ...+ C(k,k-1) + C(k,k) = 2^k-1=2^(n/2)-1
（2）若n=2k+1时(k属于正整数,且k>1)
其中共有k+1个奇数,这些数不是任何数的2倍,这些数不受约束,可以自己选择在A中还是A补中,
还有k个偶数,这些偶数均可以用前面的k个奇数表示,所以这些数在A中还是A补中由前面的k个奇数确定.
因此,只需选择k个奇数是否在A中即可完成A集合的组建,这样A集合共有
C(k+1,1) + C(k+1,2) + ...+ C(k+1,k-1) + C(k+1,k)+C(k+1,k) +C(k+1,k+1) = 2^（k+1）-1=2^（(n+1）/2)-1
综上
当n=1,2时,f（n）=2
当n=2k,（k属于正整数,且k>1）时
f（n）=2^(n/2)-1
当n=2k+1,k属于正整数,且k>1时,f(n)=2^（(n+1）/2)-1;
但是你们并没有学组合数这我就不知道怎么算C(k+1,0) + C(k+1,1) + C(k+1,2) + ...+ C(k+1,k-1) + C(k+1,k)+C(k+1,k) +C(k+1,k+1) = 2^（k+1）=2^（(n+1）/2)了