关于集合的数学题设全集U=R,已知集合A={xlx2+px+q=0},B={xlqx2+px+1=0}.问是否存在非零实数p,q使集合A,B同时满足以下两个条件1:A与B的交集不是空集,2:A交(B的补集)={-2}?若存在,求出p,q的值;若不存在,请

Question

关于集合的数学题设全集U=R,已知集合A={xlx2+px+q=0},B={xlqx2+px+1=0}.问是否存在非零实数p,q使集合A,B同时满足以下两个条件1:A与B的交集不是空集,2:A交(B的补集)={-2}?若存在,求出p,q的值;若不存在,请说明理由

Answer 1

A与B交集非空，说明关于x的二次方程组(x^2+px+q=0;qx^2+px+1=0)有实数解，两方程相减，可得(1-q)(x^2-1)=0. 又，A交(B的补集)={-2}，说明x=-2是x^2+px+q=0且x=-2不是qx^2+px+1=0的根。即，2p=4+q,而2p≠4q+1,推出q≠1. 所以，x=1或x=-1. 综上分析，可知，x^2+px+q=0有两根分别为1，-2或两根分别为-1，-2. （1）当x^2+px+q=0的两根分别为1，-2时，p=1,q=-2,集合A={1，-2}，B={1，-1/2}，满足题中所有条件。 （2）当x^2+px+q=0的两根分别为-1，-2时，p=3,q=2,集合A={-1,-2},B={-1,-1/2},仍满足题中所有条件。 总之，存在非零实数p,q使集合满足所给条件，p,q的值分别为1，-2或3，2.