已知函数f（x）=log2（x+1）（Ⅰ）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log2pm，log2pn]，求实数P的取值范围；（Ⅱ）设函数g(x)＝log2(x2−3x+5)，h（t）=|t-a|+|t|，是否存在实数a，使得h（t）≥2f

Question

已知函数f（x）=log₂（x+1）
（Ⅰ）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log2(p)/(m)，log2(p)/(n)]，求实数P的取值范围；
（Ⅱ）设函数g(x)＝log2(x2−3x+5)，h（t）=|t-a|+|t|，是否存在实数a，使得h（t）≥2^{f（x）-g（x）}对任意x∈（-1，+∞），t∈R恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知：f(m)＝log2(m+1)＝log2(p)/(m)，f(n)＝log2(n+1)＝log2(p)/(n)
即：m+1＝(p)/(m)，n+1＝(p)/(n)，n＞m＞−1，
∴m，n是x+1＝(p)/(x)的两根，即方程：x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有两个相异的解，
由对称轴x＝−(1)/(2)＜−1，只需满足

△＝1+4p＞0

(−1)2+(−1)−p＞0

，解得：−(1)/(4)＜p＜0，
∴实数p的取值范围是−(1)/(4)＜p＜0；
（Ⅱ）由题意h（t）≥2log2(x+1)−log2(x2−3x+5)＝(x+1)/(x2−3x+5)对任意x∈（-1，+∞）成立，即h（t）≥(x+1)/(x2−3x+5)的最大值，
又∵(x+1)/(x2−3x+5)＝(x+1)/((x+1)2−5(x+1)+9)=(1)/((x+1)+(9)/(x+1)−5)≤1，当且仅当x+1＝(9)/(x+1)，即x=2时取到，
∴h（t）≥1对t∈R恒成立，只需h（t）_min≥1，
而h（t）=|t-a|+|t|≥|a|，
∴|a|≥1即可，解得a≥1或a≤-1，
∴实数a的取值范围是a≥1或a≤-1．