y=x+√￣1－2x的值域

Question

y=x+√￣1－2x 的值域

Answer 1

[-∞,1]
法一：判别式法
因为√(1-2x)≥0,y=x+√(1－2x)≥x,所以y-x≥0.
y=x+(1-2x)^(1/2)→y-x=(1-2x)^(1/2)→x^2-2yx+y^2=1-2x→x^2+(2-2y)x+y^2-1=0→△=(2-2y)^2-4(y^2-1)=8-8y≥0→y≤1
法二：换元法
设√(1－2x)=t(t≥0),则x=(1-t^2)/2
y=-t^2/2+t+1/2,对于f(t)=-t^2/2+t+1/2,开口向下,对称轴t=1
又t≥0,所以y=x+√(1－2x)的值域是[-∞,1]