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函数y=sinx+1/cosx+3的值域为?
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函数y=sinx+1/cosx+3的值域为?
▼优质解答
答案和解析
方法一：
y=(sinx+1)/(cosx+3)
sinx+1=ycosx+3y
sinx-ycosx=3y-1=√(1+y^2)sin(x+p)=3y-1
sin(x+p)=(3y-1)/√(1+y^2)
|sin(x+p)|≤1
所以 |(3y-1)/√(1+y^2)|≤1
4y^2-3y≤0
所以0≤y≤3/4
方法二：
函数的几何意义可以解读为：
圆x^2+y^2=1上的点(cosx,sinx)与点(-3,-1)的连线的斜率
函数的值域即过此两点的直线的斜率取值范围.
设过点(-3,-1)的直线是y+1=k(x+3)
kx-y+3k-1=0
圆心到直线的距离等于半径得
|3k-1|/√(1+k^2)=1
(3k-1)^2=1+k^2
k=0,k=3/4
所以值域是[0,3/4]
y=(sinx+1)/(cosx+3)
sinx+1=ycosx+3y
sinx-ycosx=3y-1=√(1+y^2)sin(x+p)=3y-1
sin(x+p)=(3y-1)/√(1+y^2)
|sin(x+p)|≤1
所以 |(3y-1)/√(1+y^2)|≤1
4y^2-3y≤0
所以0≤y≤3/4
方法二：
函数的几何意义可以解读为：
圆x^2+y^2=1上的点(cosx,sinx)与点(-3,-1)的连线的斜率
函数的值域即过此两点的直线的斜率取值范围.
设过点(-3,-1)的直线是y+1=k(x+3)
kx-y+3k-1=0
圆心到直线的距离等于半径得
|3k-1|/√(1+k^2)=1
(3k-1)^2=1+k^2
k=0,k=3/4
所以值域是[0,3/4]
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