函数f(x)=(sinx+2)/(cosx+3)值域!

Question

函数f(x)=(sinx+2)/(cosx+3)值域!

Answer 1

解法一：设y=(sinx+2)/(cosx+3)
则y(cosx+3)=sinx+2
sinx-ycosx=3y-2
[√(1+y²)]sin(x-θ)=3y-2 (其中θ满足cosθ=1/√(1+y²),sinθ=y/√(1+y²),）
即sin(x-θ)=(3y-2)/ √(1+y²),……①
欲使关于x的方程①有解需且必须|(3y-2)/ √(1+y²)|≤1
|3y-2|≤√(1+y²)
两边平方,得
8y²-12y+3≤0
解之得(3-√3)/4≤y≤(3+√3)/4
即f(x)值域为[(3-√3)/4,(3+√3)/4]
解法二：可以采用数形结合的方法
设u=sinx,v=cosx
则v²+u²=1……①
建立直角坐标系,横轴为v轴,纵轴为u轴
则方程①表示以原点O为圆心,半径为1的圆.
(sinx+2)/(cosx+3)表示点M（cosx,sinx）与点P（-3,-2）连线的斜率k,
k的范围就是所求值域.
则过点P圆的切线为u+2=k(v+3)即 kv-u+3k-2=0,……②
由于圆心到切线的距离等于半径
则1=|3k-2|/√(k²+1)
解之得(3-√3)/4≤k≤(3+√3)/4
即f(x)值域为[(3-√3)/4,(3+√3)/4]
解法三：可以采用数形结合的方法
设u=sinx,v=cosx
则v²+u²=1……①
建立直角坐标系,横轴为v轴,纵轴为u轴
则方程①表示以原点O为圆心,半径为1的圆.
(sinx+2)/(cosx+3)表示点M（cosx,sinx）与点P（-3,-2）连线的斜率k.
则过点P圆的切线为u+2=k(v+3)即 u=k(v+3)-2,……②
将②代入①,得v²+[k(v+3)-2]²=1
(k²+1)v²+2k(3k-2)v+(3k-2)p²-1=0
有△=0得k=3-√3)/4,或3+√3)/4
即f(x)值域为[(3-√3)/4,(3+√3)/4]