已知函数f（x）=(2x^2+bx+c)/(x^2+1)(b＜0)的值域为[1,3]，求实数b，c的值

Question

已知函数f（x）=(2x^2+bx+c)/(x^2+1) (b＜0)的值域为[1,3]，求实数b，c的值

Answer 1

f（x）=(2x^2+bx+c)/(x^2+1) (b＜0)的值域为[1,3],
函数 y=(2x^2+bx+c)/(x^2+1)
即 yx²+y=2x^2+bx+c
即 (y-2)x²-bx+y-c=0(#)
∵x∈R
∴(#)方程有实数解
函数的值域即是使得方程有解的y值得范围
当y=2时,-bx-c=0有解
当y≠2时,方程有实数解则
Δ=b²-4（y-2)(y-c)≥0
整理得：b²-4y²+4(c+2)y-8c≥0
4y²-4(c+2)y+8c-b²≤0 （*）
∵值域为[1,3]
∴不等式（*）的解集为[1,3]
∴y1=1,y2=3是方程
4y²-4(c+2)y+8c-b²=0的两个根
∴ 根据韦达定理
c+2=1+3=4,c=2
(8c-b²)/4=1*3=3,b²=4
∵b