等比数列{an}中,a1=512,公比q=-1/2,用An表示它的前n项之积：An=a1a2……an,则A1,A2,……中最大的是

Question

等比数列{an}中,a1=512,公比q=-1/2,用An表示它的前n项之积：An=a1a2……an,则A1,A2,……中最大的是________

Answer 1

解 an=512*(-1/2)^n-1
An=a1a2...an=512*512*(-1/2)*512*(-1/2)^2.512*(-1/2)^n-1
=512^n*(-1/2*(-1/2)^2.(-1/2)^n-1)
=512^n*(-1/2)^n(n-1)/2
=2^9n*2^(-1*n(n-1)/2)
=2^(9n+n/2-n^2/2)
要求An的最大值 函数y=2^x 单调递增 只要求f(n)= 9n+n/2-n^2/2的最大值即可
f(n)=-n^2/2+19n/2
=-1/2(n^2-19n)=-1/2(n-19/2)^2+(19/2)^2
当n=19/2取得最大值 f(n)=(19/2)^2
n只能取整数 当n=9 f(9)= -1/2(9-19/2)^2+(19/2)^2=(19/2)^2-1/8
当n=10,f(10)=-1/2(10-19/2)+(19/2)^2=(19/2)^2-1/8
所以 f(9)=f(10)
An的最大值为 A9,A10.