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证明反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数
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证明反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数
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答案和解析
设A反称,且AX=λX,(X!=0)
则(X的共轭转置)AX=λ(X的共轭转置)X=λ|X|^2
两边取转置,并注意到A实反称,则有
-(X的共轭转置)AX=λ(X的共轭转置)X=(λ的共轭)|X|^2
两式相加得:【λ+(λ的共轭)】*|X|^2=0
因为X是特征向量,!=0,所以:【λ+(λ的共轭)】=0
证毕
则(X的共轭转置)AX=λ(X的共轭转置)X=λ|X|^2
两边取转置,并注意到A实反称,则有
-(X的共轭转置)AX=λ(X的共轭转置)X=(λ的共轭)|X|^2
两式相加得:【λ+(λ的共轭)】*|X|^2=0
因为X是特征向量,!=0,所以:【λ+(λ的共轭)】=0
证毕
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