已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则2Sn+16an+3的最小值为．

Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，若a₁=1，S_n是数列{a_n}前n项的和，则(2Sn+16)/(an+3)的最小值为___．

Answer 1

因为a₁，a₃，a₁₃成等比数列，所以a32=a1a13，
又a₁=1，所以（1+2d）²=1×（1+12d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，S_n=(n(1+2n-1))/(2)=n²，
则(2Sn+16)/(an+3)=(2n2+16)/(2n+2)=(n2+8)/(n+1)=((n+1)2-2(n+1)+9)/(n+1)
=(n+1)+(9)/(n+1)-2≥2√((n+1)×(9)/(n+1))-2=4，
当且仅当n+1=(9)/(n+1)时取等号，此时n=2，且(2Sn+16)/(an+3)取到最小值4，
故答案为：4．