若等差数列{An}公差为d,等比数列{Bn}公比为q,求数列{AnBn}前n项和Sn.

Question

若等差数列{An}公差为d,等比数列{Bn}公比为q,求数列{AnBn}前n项和Sn.

Answer 1

A[n]=A+(n-1)d,首项为A,公差为d
B[n]=Bq^(n-1),首项为B,公比为q
A[n]B[n]
=[A+(n-1)d]*[Bq^(n-1)]
=ABq^(n-1)+dB(n-1)q^(n-1)
记A[n]B[n]=ABC[n]+dBD[n],其中C[n]=q^(n-1),D[n]=(n-1)q^(n-1)
则S[n]=A[1]B[1]+A[2]B[2]+...+A[n]B[n]
=(ABC[1]+dBD[1])+(ABC[2]+dBD[2])+...+(ABC[n]+dBD[n])
=AB(C[1]+C[2]+...+C[n])+dB(D[1]+D[2]+...+D[n])
=ABN[n]+dBM[n],其中N[n]为数列{C[n]}前n项和,M[n]为数列{D[n]}前n项和
q=1时,
C[n]=q^(n-1)=1
N[n]=C[1]+C[2]+...+C[n]=1+1+...+1=n
D[n]=(n-1)q^(n-1)=n-1
M[n]=D[1]+D[2]+...+D[n]=0+1+2+..+(n-1)=n(n-1)/2
S[n]=ABN[n]+dBM[n]=ABn+dBn(n-1)/2(q=1)
q≠1时,
N[n]=C[1]+C[2]+...+C[n]=1+q+q^2+...+q^(n-1)=(1-q^n)/(1-q)
M[n]=D[1]+D[2]+...+D[n]=0*1+1*q+2*q^2+...+(n-1)q^(n-1)=1*q+2*q^2+...+(n-1)q^(n-1)
qM[n]=q*[1*q+2*q^2+...+(n-1)q^(n-1)]=1*q^2+2*q^3+...+(n-1)q^n
M[n]-qM[n]=(1-q)M[n]=
=[1*q+2*q^2+...+(n-1)q^(n-1)]-[1*q^2+2*q^3+...+(n-1)q^n]
=1*q+1*q^2+1*q^3+...+1*q^(n-1)-(n-1)q^n
=q+q^2+...+q^(n-1)+q^n-nq^n
=q(1-q^n)/(1-q)-nq^n
so,M[n]=q(1-q^n)/(1-q)^2-nq^n/(1-q)
so,S[n]=ABN[n]+dBM[n]=AB(1-q^n)/(1-q)+dB[q(1-q^n)/(1-q)^2-nq^n/(1-q)](q≠1)