已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn．求证：数列{cn}不是等比数列．

Question

已知数列{a_n}和{b_n}是公比不相等的两个等比数列，c_n=a_n+b_n．求证：数列{c_n}不是等比数列．

Answer 1

证明：用反证法，假设{c_n}是等比数列，
设a_n=a₁•p^n-1，b_n=b₁•q^n-1，p≠q
则c_n=a₁•p^n-1+b₁•q^n-1，

∵{c_n}是等比数列，∴(cn+1)/(cn)＝(cn)/(cn−1)，①
c_n+1=a₁•pⁿ+b₁•qⁿ，
c_n-1=a₁•p^n-2+b₁•q^n-2，
代入①并化简可得（p-q）²=0，即p=q
与题设矛盾，假设错误，
∴数列{c_n}不是等比数列．