数列{an}的前n项和Sn与an满足：Sn=1-nan（n∈N*），求{an}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）

Question

数列{a_n}的前n项和S_n与a_n满足：S_n=1-na_n（n∈N^*），求{a_n}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）

Answer 1

由题意，a₁=S₁=1-a₁，∴a1＝(1)/(2)＝(1)/(1×2)
a₂=S₂-S₁=（1-2a₂）-（1-a₁），∴a2＝(1)/(6)＝(1)/(2×3)
猜想an＝(1)/(n(n+1))
用数学归纳法证明如下：
（1）n=1时，结论成立；
（2）假设n=k时，结论成立，即ak＝(1)/(k(k+1))，
则n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=[1-（k+1）a_k+1]-[1-k•(1)/(k(k+1))]，
∴ak＝(1)/((k+1)[(k+1)+1])
即猜想成立
∴an＝(1)/(n(n+1))成立．