已知等差数列{an}的首项a1=1,且公差d>0,它的第2项、第5项、第14项分别是等比数列{ｂn}的第2、3、4项求：设{ｃn}对任意正整数n均有c1/b1+c2/b2+c3/b3+...+ｃn/bn=ａn+1成立,求ａ1ｃ1＋ａ2ｃ2＋...+ａnｃn

Question

已知等差数列{an}的首项a1=1,且公差d>0,它的第2项、第5项、第14项分别是等比数列{ｂn}的第2、3、4项
求：设{ｃn}对任意正整数n均有c1/b1+c2/b2+c3/b3+...+ｃn/bn=ａn+1成立,求ａ1ｃ1＋ａ2ｃ2＋...+ａnｃn的值

Answer 1

由题意得,a2*a14=a5^2,即(1+4d)^2=(1+d)*(1+13d)
解得:d=2
∵数列{an}是等差数列
∴an=1+(n-1)*2=2n-1 ,则a2=3,a5=9,a14=27
设等比数列{bn}的公比为q,则q=3,b1=1
∴bn=3^(n-1)
设Tn=ａ1ｃ1＋ａ2ｃ2＋...+ａnｃn.
∵c1/b1+c2/b2+c3/b3+...+ｃn/bn=ａn+1--[1]
∴c1/b1+c2/b2+c3/b3+...+ｃn-1/bn-1=ａn--[2]
由[1]-[2]得,ｃn/bn=ａn+1-ａn=2,即Cn=2*3^(n-1)
∵Cnan=(2n-1)*2*3^(n-1)=(4n-2)*3^(n-1)
∴Tn=2+6*3+10*3^2+14*3^3+……+(4n-2)*3^(n-1)
3Tn=2*3+6*3^2+10*3^3+……+(4n-6)*3^(n-1)+(4n-2)*3^n
两式相减得,-2Tn=2+4*3+4*3^2+4*3^3+……+4*3^(n-1)-(4n-2)*3^n=2+4*3[1-3^(n-1)]/(1-3)-(4n-2)*3^n=(4-4n)*3^n-4
∴Tn=ａ1ｃ1＋ａ2ｃ2＋...+ａnｃn=(2n-2)*3^n+2