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已知F1,F2分别为双曲线C:x29-y24=1的左、右焦点,P,Q为C上的点,且满足条件:①线段PQ的长度是虚轴长的2倍;②线段PQ经过F2,则△PQF1的周长为.若满足条件②,则△PQF1的周长的最小值
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已知F1,F2分别为双曲线C:
-
=1的左、右焦点,P,Q为C上的点,且满足条件:①线段PQ的长度是虚轴长的2倍;②线段PQ经过F2,则△PQF1的周长为 ___.若满足条件②,则△PQF1的周长的最小值为 ___.
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9 |
y2 |
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▼优质解答
答案和解析
双曲线C:
-
=1的a=3,b=2,
则有PQ=4b=8,
则由双曲线的定义可得,
PF1-PF2=6,QF1-QF2=6,
则满足条件①②时,
△PQF1的周长为PF1+QF1+PF2+QF2=(PF1-PF2)+(QF1-QF2)+2(PF2+QF2)
=6+6+2×8=28;
若只满足条件②,
则△PQF1的周长为PF1+QF1+PF2+QF2=(PF1-PF2)+(QF1-QF2)+2(PF2+QF2)
=4a+2PQ=12+2PQ.
当PQ垂直于x轴,则弦长PQ最短,
令x=
则有y2=4×(
-1)=
,解得,y=±
.
则有PQ=
.
则有△PQF1的周长的最小值为12+2×
=
.
故答案为:28,
.
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则有PQ=4b=8,
则由双曲线的定义可得,
PF1-PF2=6,QF1-QF2=6,
则满足条件①②时,
△PQF1的周长为PF1+QF1+PF2+QF2=(PF1-PF2)+(QF1-QF2)+2(PF2+QF2)
=6+6+2×8=28;
若只满足条件②,
则△PQF1的周长为PF1+QF1+PF2+QF2=(PF1-PF2)+(QF1-QF2)+2(PF2+QF2)
=4a+2PQ=12+2PQ.
当PQ垂直于x轴,则弦长PQ最短,
令x=
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则有PQ=
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则有△PQF1的周长的最小值为12+2×
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故答案为:28,
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