已知F1，F2分别为双曲线C：x29-y24=1的左、右焦点，P，Q为C上的点，且满足条件：①线段PQ的长度是虚轴长的2倍；②线段PQ经过F2，则△PQF1的周长为．若满足条件②，则△PQF1的周长的最小值

Question

已知F₁，F₂分别为双曲线C：(x2)/(9)-(y2)/(4)=1的左、右焦点，P，Q为C上的点，且满足条件：①线段PQ的长度是虚轴长的2倍；②线段PQ经过F₂，则△PQF₁的周长为 ___．若满足条件②，则△PQF₁的周长的最小值为 ___．

Answer 1

双曲线C：(x2)/(9)-(y2)/(4)=1的a=3，b=2，
则有PQ=4b=8，
则由双曲线的定义可得，
PF₁-PF₂=6，QF₁-QF₂=6，
则满足条件①②时，
△PQF₁的周长为PF₁+QF₁+PF₂+QF₂=（PF₁-PF₂）+（QF₁-QF₂）+2（PF₂+QF₂）
=6+6+2×8=28；
若只满足条件②，
则△PQF₁的周长为PF₁+QF₁+PF₂+QF₂=（PF₁-PF₂）+（QF₁-QF₂）+2（PF₂+QF₂）
=4a+2PQ=12+2PQ．
当PQ垂直于x轴，则弦长PQ最短，
令x=√(13)则有y²=4×（(13)/(9)-1）=(16)/(9)，解得，y=±(4)/(3)．
则有PQ=(8)/(3)．
则有△PQF₁的周长的最小值为12+2×(8)/(3)=(52)/(3)．
故答案为：28，(52)/(3)．