小亮学了“圆锥体积公式”后,产生了这样的疑问：“等底等高的圆柱和圆锥可以分别看作长方形和直角三角形绕一条边旋转而成（如下图）,这里的直角三角形的面积显然是长方形面积的1/2,

Question

小亮学了“圆锥体积公式”后,产生了这样的疑问：“等底等高的圆柱和圆锥可以分别看作长方形和直角三角形绕一条边旋转而成（如下图）,这里的直角三角形的面积显然是长方形面积的1/2,旋转之后体积之间的倍数关系为什么不是1/2,而是
1/3了呢?”请你帮小亮解除这个疑问.

Answer 1

这是证明的过程：
证明：
把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 因为 1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 =pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以 V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3