若函数f(x,y)对任意正实数t满足f(tx,ty)=f(x,y)乘以t的n次方,就称f(x,y)为n次齐次函数.设函数f(x,y)可微证明f(x,y)为n次齐次函数的充要条件是xf'(x,y)+yf'(x,y)=nf(x,y)(上面的f'()前面是对x后面是对y）.必要

Question

若函数f(x,y)对任意正实数t满足f(tx,ty)=f(x,y)乘以t的n次方,就称f(x,y)为n次齐次函数.设函数f(x,y)可微
证明f(x,y)为n次齐次函数的充要条件是xf'(x,y)+yf'(x,y)=nf(x,y)
(上面的f'()前面是对x后面是对y）.必要性我会证,谁教一下充分性怎么证明?

Answer 1

首先,n次齐次函数为f（tx,ty）=t^nf(x,y) .1式
令tx=u,ty=v
两边对t求导得x