双曲线C的中点在原点,焦点在Y轴上,其顶点A.B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.（1）求证双曲线为等轴双曲线

Question

双曲线C的中点在原点,焦点在Y轴上,其顶点A.B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.（1）求证双曲线为等轴双曲线

Answer 1

∴双曲线C是一条等轴双曲线
(2)由(1)知双曲线C的方程为 y2-x2=a2.设M (x1,y1),N(x2,y2),则 y-x=a2
y-x=a2,∴ (y1+y2)·(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0
∵MN的中点为 D (4,6),∴1 2(y1-y2)-8(x1-x2)=0
∴ MN:y-6=(x-4)
代入圆的方程得：(x-4)2+(x-4)2=13,∴ x=7 或1 ,∴M点的坐标为(7,8)或(1,4)
代入双曲线方程得 a2=82-72 (或42－ =15,∴双曲线方程为 y2-x2=15.