复数有什么用数学中的复数是谁提出来的是为了解决什么而提出来的到底有什么作用?会无缘无故多出个-1平方为-1很疑惑啊还有欧拉公式中的复数是怎么出来的

Question

复数有什么用
数学中的复数是谁提出来的 是为了解决什么而提出来的 到底有什么作用?会无缘无故多出个-1平方为-1 很疑惑啊 还有欧拉公式中的复数是怎么出来的

Answer 1

复数
复数就是实数和虚数的统称
复数的基本形式是a+bi,其中a,b是实数,a称为实部,bi称为虚部,i是虚数单位,在复平面上,a+bi是点Z(a,b).Z与原点的距离r称为Z的模|Z|=√a方+b方
a+bi中：a=0为纯虚数,b=0为实数,b不等于0为虚数.
复数的三角形式是 Z＝r[cosx+isinx]
中x,r是实数,rcosx称为实部,irsinx称为虚部,i是虚数单位.Z与原点的距离r称为Z的模,x称为辐角.
16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650）,他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来.
数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i,而使用=一1）.法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了,这就是著名的棣莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.
德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a＋bi.象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组（a,b）代表复数a＋bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.
经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集.
随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.
欧拉公式
(Euler公式)
在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做
欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中.
（1）分式里的欧拉公式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复变函数论里的欧拉公式：
e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.
它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.
将公式里的x换成-x,得到：
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e,圆周率∏,两个单位：虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0.数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它.
（3）三角形中的欧拉公式：
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）拓扑学里的欧拉公式：
V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数.
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面）,那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h.
X(P)叫做P的拓扑不变量,是拓扑学研究的范围.
（5）初等数论里的欧拉公式：
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数.n是一个正整数.
欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等.则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它.
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名.
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