已知双曲线方程为2x2-y2=2，其弦PQ的长是实轴长的2倍，若弦PQ所在的直线l过点A（3，0），求直线l的方程．

Question

已知双曲线方程为2x²-y²=2，其弦PQ的长是实轴长的2倍，若弦PQ所在的直线l过点A（√(3)，0），求直线l的方程．

Answer 1

由2x²-y²=2可得x²-(y2)/(2)=1，
∴a=1，实轴长2a=2，
∴|PQ|=4，
设l方程：y=k（x-√(3)），代入2x²-y²=2得：2x²-k²（x-√(3)）²=2
即（2-k²）x²+2√(3)k²x-（3k²+2）=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=(2√(3)k2)/(k2−2)，x₁x₂=(3k2+2)/(k2−2)
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=(16(k2+1))/((k2−2)2)
∴|PQ|=√(1+k2)|x₁-x₂|=(4(k2+1))/(k2−2)=2
∴3k²=4，
∴k=±(2√(3))/(3)，
∴l方程：y=±(2√(3))/(3)（x-√(3)）．
斜率不存在时，x=√(3)也满足．