（2011•安徽模拟）已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y＝43x，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P、A2P分别与直线l：x

Question

（2011•安徽模拟）已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y＝(4)/(3)x，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A₁A₂，P为双曲线上一点（不同于A₁，A₂），直线A₁P、A₂P分别与直线l：x＝(9)/(5)交于M、N两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）求证：

FM

•

FN

为定值．

Answer 1

（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为：(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1，
则

(b)/(a)＝(4)/(3)

c＝5

c2＝a2+b2

⇒

a＝3

b＝4

∴所求双曲线方程为(x2)/(9)−(y2)/(16)＝1

（Ⅱ）A₁（-3，0）、A₂（3，0）、F（5，0），设P（x，y），M（(9)/(5)，y0），

A1P

＝(x+3，y)，

作业帮用户 2017-10-09

问题解析

（Ⅰ）先设双曲线方程为：(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1，根据题意可得关于a、b的方程组，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，易得A₁、A₂、F的坐标，设P（x，y）、M（(9)/(5)，y0），易得向量

A1P

＝(x+3，y)，

A1M

＝((24)/(5)，y0)，又由共线向量的坐标运算，可得M的坐标，进而可得N的坐标，
由此可得：

FM

与

FN

的坐标，即可得

FM

•

FN

＝(256)/(25)−(144)/(25)•(y2)/(x2−9)；结合双曲线的方程，代换可得证明．

名师点评

本题考点：

双曲线的简单性质．

考点点评：

本题考查双曲线的有关性质，（Ⅱ）的证明运用了坐标法，结合向量的数量积的运算，是典型的解析几何方法，需要加强训练．

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