已知A，B是双曲线x2a2-y2b2=1实轴的两个顶点，P是双曲线上的任意一点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA•kPB=23，则该双曲线的离心率e=

Question

已知A，B是双曲线 (x2)/(a2)- (y2)/(b2)=1实轴的两个顶点，P是双曲线上的任意一点，若直线PA，PB的斜率乘积k_PA•k_PB= (2)/(3)，则该双曲线的离心率e=___．

Answer 1

由题意，设A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
∴k_PA•k_PB=(y)/(x+a)•(y)/(x-a)=(y2)/(x2-a2)=(b2)/(a2)，
∵k_PA•k_PB=(2)/(3)，∴(b2)/(a2)=(2)/(3)，
∴e²=1+(b2)/(a2)=(5)/(3)，
∴e=(√(15))/(3)．
故答案为：(√(15))/(3)．