已知双曲线的中心在原点，实轴A1A2在x轴上，虚轴的一个端点为P．（1）若实轴长为2，焦距为4，求双曲线的标准方程；（2）若∠A1PA2为直角，求双曲线的离心率；（3）若∠A1PA2为锐角，求双

Question

已知双曲线的中心在原点，实轴A₁A₂在x轴上，虚轴的一个端点为P．
（1）若实轴长为2，焦距为4，求双曲线的标准方程；
（2）若∠A₁PA₂为直角，求双曲线的离心率；
（3）若∠A₁PA₂为锐角，求双曲线离心率的范围．

Answer 1

（1）∵实轴长为2，焦距为4，
∴a=1，c=2，
∴b=√(3)，
∵双曲线的中心在原点，实轴A₁A₂在x轴上，
∴双曲线的标准方程为x2−(y2)/(3)＝1；
（2）∵∠A₁PA₂为直角，
∴a=b，
∴双曲线的离心率为√(2)；
（3）若∠A₁PA₂为锐角，则∠A₁PO≤30°，
∴(b)/(a)≥√(3)，
∴e＝√(1+(b2)/(a2))≥2．