求同时满足下列条件的所有复数z：(1)是实数，且。(2)z的实部和虚部都是整数。

Question

求同时满足下列条件的所有复数 z ：(1) 是实数，且 。
(2) z 的实部和虚部都是整数。

Answer 1

复数 z 为：1±3 i 或3± i .

设 z = a +b i ( a ,b∈R,且 a ² +b ² ≠0).
则

由(1)知 是实数，且 ,
∴  即b=0或 a ² +b ² =10.
又    *
当b=0时，*化为 无解。
当 a ² +b ² =10时，*化为1<2 a ≤6, ∴ .
由(2)知 a =1,2,3.
∴ 相应的b=±3, ± (舍)，±1，
因此，复数 z 为：1±3 i 或3± i .
此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法。