已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，则该双曲线的离心率等于．

Question

已知双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，则该双曲线的离心率等于______．

Answer 1

双曲线的渐近线方程为y＝±(b)/(a)x，函数y=x³+2，求导函数可得y=3x²，
设切点坐标为（m，n），则
∵双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，
∴

n＝3m2

n＝(b)/(a)m

3m2＝(b)/(a)

，∴m=1，(b)/(a)=3，∴b=3a，
∴c²=a²+b²=10a²，∴c＝√(10)a
∴e=(c)/(a)=√(10)
故答案为：√(10)