已知函数f（x）=13x3−x2−3x+43，直线l：9x+2y+c=0．（1）求证：直线l与函数y=f（x）的图象不相切；（2）若当x∈[-2，2]时，函数f（x）的图象在直线l的下方，求c的范围．

Question

已知函数f（x）=(1)/(3)x3−x2−3x+(4)/(3)，直线l：9x+2y+c=0．
（1）求证：直线l与函数y=f（x）的图象不相切；
（2）若当x∈[-2，2]时，函数f（x）的图象在直线l的下方，求c的范围．

Answer 1

证明：（1）f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4
故函数y=f（x）的图象上任意一点的切线的斜率均不小于-4
而直线l：9x+2y+c＝0的斜率为−(9)/(2)＜−4
所以直线l与y=f（x）的图象不相切．
（2）当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象在直线l的下方
即(1)/(3)x3−2x2−3x−(−(9)/(2)x−(c)/(2))＜0对一切x∈[-2，2]都成立c＜−(2)/(3)x3+2x2−3x−(8)/(3)对一切x∈[-2，2]都成立
令g(x)＝−(2)/(3)x3+2x2−3x−(8)/(3)  
g′（x）=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1＜0
g（x）在∈[-2，2]上单调递减故当x∈[-2，2]时，[g（x）]_min=g（2）=-6
因此c＜-6，即c的范围是（-∞，-6）